循環小数の見つけ方をClaude先生に教えてもらったのでメモ

まず、分数を小数に変換する際の除算プロセスを考える。
分数を小数に変換する場合、以下のステップを繰り返す。

  1. 分子に10をかける
  2. その結果を分母で割る
  3. 商を小数点以下の次の桁とする
  4. 余りを次のステップの新しい分子とする

例えば、1/7を小数に変換する場合、

  • 1 ÷ 7 = 0 余り 1
  • 10 ÷ 7 = 1 余り 3
  • 30 ÷ 7 = 4 余り 2
  • 20 ÷ 7 = 2 余り 6
  • 60 ÷ 7 = 8 余り 4
  • 40 ÷ 7 = 5 余り 5
  • 50 ÷ 7 = 7 余り 1 （ここで最初の余り1が再び現れる）

ここで重要なポイントがいくつかある

  1. 有限の状態: 分母が d の場合、可能な余りは 0 から d-1 までの d 個しかない

  2. 決定論的プロセス: 除算の各ステップは、現在の余りによって完全に決定されます。つまり、同じ余りから始まれば、それ以降の桁は必ず同じになる

  3. 鳩の巣原理: ステップ数が分母 d よりも多くなると、必ず同じ余りが再び現れます。これは「鳩の巣原理」として知られる数学的概念に基づいている

  4. 循環の必然性: 同じ余りが現れた時点で、そこからの計算は前回と全く同じになるため、小数の桁も同じパターンを繰り返す

以上より、「分数を小数に変換するステップを繰り返していき、途中で同じ余りが出たらそこまでの桁で循環している」ということになる。

補足: 鳩の巣原理とは

鳩の巣原理は、簡単に言えば「n+1個以上の物をn個の箱に入れるとき、少なくとも1つの箱には2個以上の物が入る」という原理。
この原理を循環小数に適用すると、分母よりも多くの除算ステップを行えば、必ず同じ余りが再現されることが保証される。